Методы синтеза регуляторов

Помню здесь многие хотели увидеть публикации на тему теории управления и ПИД регуляторов. Я попытаюсь не ограничиваться ПИД и показать как работать с произвольными регуляторами. Для начала на простом примере перевернутого маятника. Предлагаю использовать это для коптеров, сам я до этого не скоро доберусь.

Получилось как-то очень кратко, могу позже уточнить в неясных местах.

Динамические системы и модели

Нам понадобится как-то описывать системы которые будут подвергнуты управлению, обычно это может быть сделано с помощью дифференциальных уравнений (по крайней мере для механичейкой системы, да и для аэродинамики тоже). Для задач ТУ эти уравнения надо переписать в форму модели в пространстве состояний, это более удобный и простой способ описания системы с множеством входов и выходов, в отличии от передаточных функций. Каждый элемент пространства состояний соответствует некоторому состоянию системы. Для примера такая механическая система как ротор двигателя имеет угловое положение и скорость которые и составляют состояние системы. Уравнения для двигателя задают действующий момент сил и это приводит к ОДУ второго порядка.



Простой заменой переменных и введением новых оно может быть преобразовано к системе уравнений первого порядка.



Это уже уравния в пространстве состояний. Следующее, что мы сделаем, запишем уравнений в такой матричной форме.



Где,
x — состояние системы
u — управление или вход
z — выход системы

Будем считать, что момент это и есть управление, а выражение для выхода оставим пока в покое, тогда.



Этот простой пример уже имеет постоянные и независящие от времени матрицы. На деле обычно надо производить лиеаризацию в той точке в которой планируется стабилизировать систему. Это делается в основном из-за того, что для линейных систем задачи синтеза и анализа упрощаются и есть много хороших методов. Последствие линеаризации в том, что если мы сделали регулятор для линеаризованной системы, то теория гарантирует стабильность реальной системы только в некоторой окрестности точки линеаризации. Но не будем уходить слишком глубоко, на самом деле если предполагается использование цифровых регуляторов (АЦП -> МК -> ЦАП) то надо использовать модель с дискретным временем.



Переход от модели с постоянным временем к модели с дискретным временем это не то, что можно здесь так просто объяснить. Более того, можно сразу получить дискретную модель. Как это сделать наверно отдельный вопрос. У меня есть некоторые мысли применительно к коптерам о том как не сильно напрягаясь получить модель, хотя бы линейную. Но об этом наверно в другой раз.

Устойчивость

Условие устойчивости дискретной системы состоит в том, что отображение производимое матрицей А должно быть сжимающим. То есть все расстояния в пространстве состояний с каждым шагом системы становятся меньше. Это обеспечивается если собственные значения А по абсолютной величине не превосходят единицы. Это же условие можно выразить как отрицательность приращения функции Ляпунова.




Последнее эквивалентно такому линейному матричному неравенству.



В котором H это положительно определенная матрица, и А переходная матрица дискретной системы.

Покажем как это можно использовать.

Scilab

Для численных и особенно матричных вычислений хорошо подходит scilab. Это язык, интерпретатор, и много готовых функций. У него есть аналоги, scilab выбран только потому что в нем уже есть решатель ЛМН. В остальных случаях я использую octave.

www.gnu.org/software/octave/
www.scilab.org/
www.mathworks.com/

Он полезен даже как замена калькулятору или рисовалка графиков.

Синтез регулятора

Будем использовать систему из [2] перевернутого маятника с подвижным основанием как пример неустойчивой системы. Переход к дискретной модели будет сделан численно с помощью scilab, поэтому будем полагать, что уже имеем линейную дискретную модель системы. Для упрощения будем синтезировать регулятор по состоянию (надо заметить, что иначе статический регулятор и не сможет стабилизировать эту систему).



То есть на вход регулятор получает все состояние системы, положение основания, угол отклонения маятника, скорость основания, скорость изменения угла. Выход регулятора и вход системы это сила приложенная к основанию.

Подставляя регулятор в уравнение дискретной системы находим.



То есть, переходная матрица замкнутой системы A + BF. Используем условие устойчивости для нее.



Здесь надо заметить, что это не единственный возможный способ. Можно использовать любые методы оптимизации, например `лобовой` способ это генетический алгоритм который свободен от сложностей приведения неравенств к решабельному виду. Это ещё одна отдельная тема.

(стал я сомневаться, что это ещё кому-то интересно и до этой строки кто-то доберется :))

Делаем замену,



и домножаем на X справа и слева.



Используем дополнение Шура.


(Ошибка, условие надо инвертировать, извините но картинку перерисовыввать не буду)

Коэффициенты регулятора выражаются так.



С эти можно идти в scilab и пытаться решать неравенство относительно X и Y.

Моделирование

Надо перестроить матрицы для замкнутой системы и вытащить новое управление.


(Ошибка, в столбце должно быть -1 а не 1)

Теперь подаем на вход `ступеньку` (переключаем с 0 на 1 (или любое другое значение отличное от нуля) и удерживаем). И смотрим что получается на выходе. Это преходный процесс по пложению платформы.



Как это делается в scilab можно увидеть в коде примера.

Ссылки

[1] www.unn.ru/pages/issues/aids/2006/36.pdf
[2] www.math.uwaterloo.ca/~sacampbe/preprints/invpend.pdf

Upadate1:

Видео

Стрелка внизу указывает целевое положение платформы в которое регулятор стабилизирует систему. Верхняя полоска показывает силу приложенную к платформе. На самом деле здесь использован другой (динамический, по выходу системы) регулятор, и есть еще некоторые особенности. Делал не специально для этого поста. Но все же визуально разницы не заметить.

ompldr.org/vZDNobA